Beweis

Wenn es nur endlich viele Primzahlen gäbe, könnte man alle Primzahlen von p1 bis pn auflisten und miteinander multiplizieren. Wenn man nun 1 dazu addiert, erhält man eine Zahl, die durch keine der Primzahlen teilbar ist. Diese Zahl muß also entweder eine neue Primzahl sein, oder durch eine neue Primzahl teilbar sein.

Die Annahme, daß es nur endlich viele Primzahlen gibt, führt somit zum Widerspruch. Es muß also unendlich viele Primzahlen geben.

Primzahlzwillinge

• Primzahlzwillinge sind immer zwei Primzahlen, die die Differenz zwei haben. Bis heute ist unklar, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
• Beispiele: 5 und 7, 17 und 19, 41 und 43

Primzahldrillinge

• Primzahldrillinge sind immer drei Primzahlen, die jeweils die Differenz zwei haben. Es gibt aber nur einen einzigen Drilling (3, 5 und 7), da jede dritte ungerade Zahl durch drei teilbar ist.
  Beweis: Ein Primzahldrilling hat immer die Form p, p+2, p+4, wobei p die erste Primzahl ist. Angenommen, p ist nicht durch drei teilbar, dann bleibt bei der Division durch drei entweder 1 oder 2 als Rest übrig. Bleibt 1 übrig, dann muß p+2 durch drei teilbar sein, da der Rest dabei drei, und somit durch drei teilbar wäre. Bleibt aber 2 übrig, dann ist der Rest bei p+4 drei, und somit teilbar durch drei.

Primzahlvierlinge

• Primzahlvierlinge sind jeweils zwei Primzahlzwillinge, die nur vier Zahlen auseinanderliegen.
• Beispiele: 11;13;17;19 oder 101;103;107;109